Квадрат суммы - это математическое выражение, представляющее результат возведения суммы двух или более слагаемых в квадрат. Данная формула широко применяется в алгебре и математическом анализе.
Содержание
Формула квадрата суммы
Основная формула квадрата суммы двух чисел выглядит следующим образом:
| (a + b)2 = | a2 + 2ab + b2 |
Доказательство формулы
- Запишем квадрат суммы как произведение двух одинаковых скобок: (a + b)2 = (a + b)(a + b)
- Раскроем скобки по правилу умножения: a·a + a·b + b·a + b·b
- Упростим выражение: a2 + 2ab + b2
Примеры вычислений
| Пример | Решение |
| (x + 3)2 | x2 + 6x + 9 |
| (2y + 5)2 | 4y2 + 20y + 25 |
| (10 + 1)2 | 100 + 20 + 1 = 121 |
Геометрическая интерпретация
- Представим квадрат со стороной (a + b)
- Площадь квадрата можно разбить на: квадрат со стороной a, два прямоугольника ab и квадрат со стороной b
- Общая площадь: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Применение формулы
В алгебре
- Упрощение алгебраических выражений
- Решение квадратных уравнений
- Разложение на множители
В практических расчетах
| Область | Пример использования |
| Физика | Расчет кинетической энергии системы |
| Экономика | Вычисление сложных процентов |
| Статистика | Расчет дисперсии |
Обобщение для нескольких слагаемых
Для трех слагаемых формула принимает вид:
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
- Каждый член возводится в квадрат
- Добавляются все возможные удвоенные произведения пар
Особые случаи
| Случай | Формула |
| Квадрат разности | (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 |
| Сумма квадратов | a2 + b2 ≠ (a + b)2 |
Формула квадрата суммы является фундаментальным алгебраическим тождеством и используется во многих разделах математики и ее приложениях.
